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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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8. Encuentre todos los valores de $x \in \mathbb{R}$ para los cuales cada una de las siguientes series es convergente. Indique para qué valores la convergencia es absoluta y para qué valores la convergencia es condicional.
g) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^{2}+2} x^{2 n+1}$

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Avatar GuadaBorsani 2 de julio 22:31
por que no usamos el criterio de leibinz?
Avatar Flor Profesor 3 de julio 11:28
@GuadaBorsani Hola Guada! Porque en este ejercicio particular, a diferencia de lo que estamos acostumbrados a que pase en la mayoría, no nos apareció ninguna serie alternada... Vos lo primero que hacés cuando evaluas en $x=1$ y $x=-1$ es ver qué tipo de serie tenés ¿positiva o alternada? según el caso, vamos a "desplegar" todo lo que vinimos viendo para ver si converge o no... El criterio de Leibniz aparece dentro del "algoritmo" jaja para series alternadas, pero en este caso no nos apareció ninguna, en ambos casos obtuvimos series positivas... 

Cuando evaluamos en $x=1$, nos quedó $(-1)^{2n+1}$ y $2n+1$ es siempre pero siempre un número impar (hace la prueba con los primeros $n$ naturales para convencerte. Por eso es que simplemente en el paso siguiente pusimos $-1$ y después lo sacamos como un $-$ afuera de la serie. Y nos terminó quedando una serie positiva, y no una alternada con $(-1)^n$
Avatar Re 30 de junio 16:35
Porque cuando decias que modulo de x<1 ya no usaste el cuadrado?2024-06-30%2016:34:56_3054156.png
Avatar Flor Profesor 1 de julio 08:04
@Re Hola Re! O sea, inicialmente vos si planteas:

$|x|^2 < 1$

pero ya aplicando raíz a ambos miembros te queda

$|x| < 1$

por eso puse directamente eso :)
Avatar Re 3 de julio 18:27
Era muy obvio que tarado jajajajaja, gracias
Avatar Maggui 28 de junio 18:56
hola Flor, una pregunta, por que queda solo modulo de x²? que pasa con la raiz enesima de la otra x?2024-06-28%2018:56:33_3412501.png
Avatar Flor Profesor 29 de junio 09:17
@Maggui Hola Maggi! Porque acordate que raíz enésima de un número, cuando $n$ tiende a infinito, siempre tiende a $1$. Y como $|x|$ es un número, entonces por eso esa parte simplemente tiende a 1.
Avatar tomas 28 de junio 11:13
buenas flor, una duda, entiendo que una serie p diverge cuando p es menor o igual a uno pero cuando utilizo el criterio de comparación vía límite me debería dar mayor o igual a uno para que diverga? gracias! 2024-06-28%2011:10:08_9606493.png
Avatar Flor Profesor 28 de junio 20:37
@tomas Hola Tomi! Las series p vos no tenés que justificar si convergen o divergen, ya por la forma lo sabés, es decir, si $p > 1$ converge y si $p \leq 1$ diverge. Ahora, vos sabiendo que esa serie p diverge y sospechando que nuestra serie se va a comportar igual, usamos el criterio de comparación via límite y comparamos nuestra serie con la serie p que elegimos. El criterio de comparación vía límite nos dice que si ese límite nos da un número $\neq 0$, entonces ambas series se comportan igual (y fijate en esa clase están aclarados también los casos especiales si te da $0$ o si te da infinito). Por ahí te va a servir repasar el criterio de comparación vía límite, está en la clase de Series Positivas Parte 2, a partir del minuto 6:20. 
Avatar Leon 25 de junio 08:05
disculpas, una pregunta, por que el exponente del (-1) desaparece?
2024-06-25%2008:05:21_5225100.png
Avatar Flor Profesor 25 de junio 10:14
@Leon Porque fijate que $2n + 1$ es un número impar (así como $2n$ es un número siempre par). Entonces tener elevado (-1) a un número que siempre es impar, no importa quien sea $n$, te queda $-1$, y por eso en el siguiente paso aparece únicamente el $-1$. 

(Para convencerte que $2n + 1$ es un número siempre impar, probá reemplazando con los primeros $n$ naturales) 
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